Rangkuman Materi Aljabar Boolean
FIAN PANIC - Belajar Sambil Ngeblog Aja :D , langsung aja simak Rangkuman Materi AljabarBoolean di bawah ini brot :V
Ekpresi Aljabar
1.Bentuk Kanonik
Beberapa fungsi Boolean mungkin mempunyai
ekspresi aljabar
yang berbeda , tetapi sebenarnya nilai
fungsinya sama.
Sebagai contoh, f (x,y) = x’ y’ dan g (x,
y) = (x + y)’ adalah dua buah fungsi yang sama.
Contoh lain,
f (x, y, z) = x’ y’ z
+ xy’ z’ + xyz
dan
g(x, y, z) = (x + y + z) (x + y’ +
z) (x + y’+ z‟) (x’+ y +z’) (x’ + y’ +
z)
adalah dua buah fungsi yang sama.
Fungsi pertama, f, tampil
dalam bentuk penjumlahan dari hasil kali, sedangkan fungsi yang kedua, g, muncul
sebagai bentuk perkalian dari hasil penjumlahan.
Setiap suku (term) mengandung
literal yang lengkap, x, y, z. Fungsi boolean yang dinyatakan sebagai jumlah
dari hasil kali dan hasil kali dari jumlah, dengan setiap sukunya mengandung
literal lengkap, disebut dalam bentuk
kanonik.
Ada dua macam bentuk kanonik :
1. Minterm atau sum-of-
product (SOP)
2. Maxterm atau product-of-sum (POS)
Minterm dan Maxterm dari
dua peubah biner ditunjukkan pada tabel 1.1 berikut :
Tabel 1.1
Minterm dan Maxterm dari
tiga peubah biner ditunjukkan pada tabel 1.2 berikut :
Tabel 1.2
Suatu fungsi boolean dapat dibentuk secara
aljabar dari tabel kebenaran yang diketahui dengan membentuk minterm dari
setiap kombinasinya.
Untuk membentuk minterm, tinjau
kombinasi peubah – peubah yang menghasilkan nilai 1. Kombinasi 001, 100 dan 111
ditulis sebagai x’ y’ z , xy’ z’ ,
dan xyz. Untuk membentuk maxterm, tinjau kombinasi peubah – peubah
yang menghasilkan nilai 0. Kombinasi 000, 010, 101 dan 110 ditulissebagai (x +
y + z) , (x + y’ + z) , (x’ + y + z’ ) dan
(x’ + y’ + z’)
Contoh :
Tinjau fungsi Boolean yang diekspresikan dalam
tabel 1.3 berikut ini. Nyatakan fungsi tersebut dalam bentuk Kanonik SOP dan
POS.
Tabel 1.3
Jawab :
1. SOP : tinjau kombinasi peubah yang
menghasilkan nilai 1
f (x, y, z) = x’ y’ z +
xy’ z’ + xyz
atau dalam bentuk lain,
f (x, y, z) = m1 + m4 + m7 = (1, 4, 7)
2. POS : tinjau kombinasi peubah yang
menghasilkan nilai 0
f (x, y, z) = (x + y + z) (x + y’ +
z) (x + y’ + z‟) (x’
+ y + z’) (x’ + y’ +
z)f
atau dalam bentuk lain,
f (x, y, z) = M0 M2 M3 M5 M6 = (0, 2, 3, 5, 6)
Notasi dan berguna untuk menyingkat penulisan
ekspresi
bentuk SOP dan POS.
2. Konversi Antar
Bentuk Kanonik
Misal f adalah fungsi Boolean
dalam bentuk SOP :
f (x,y,z) = (1, 4, 5, 6, 7)
dan f ‘ adalah komplemen dari f.
f ‘ (x, y, z) = (0, 2, 3) = m0 + m2 + m3
Dengan menggunakan hukum de Morgan, kita dapat
memperoleh
fungsi f dalam bentuk POS :
f ‘ (x, y, z) = (f ‘ (x, y, z))’ =
(m0 + m2 + m3)’
= m0‘ . m2‘ . m3’
= (x’ y’ z’ )’ (x’ y
z’ )’ (x’ y z)’
= (x + y + z) (x + y’ + z) (x + y’ +
z’ )
= M0 M2 M3
= (0, 2, 3)
Jadi mj ‘ = M j
3. Bentuk Baku
Dua bentuk kanonik adalah bentuk dasar yang
diperoleh dengan membaca fungsi dari tabel kebenaran. Bentuk ini umumnya sangat
jarang muncul, karena setiap suku di dalam bentuk kanonik harus mengandung
literal atau peubah yang lengkap, baik dalam bentuk normal (x) atau dalam
bentuk komplemennya x’.
Cara lain untuk mengekspresikan fungsi Boolean
adalah bentuk baku (standard) . Pada bentuk ini, suku – suku
yang membentuk fungsi dapat mengandung satu, dua, atau sejumlah
literal. Dua tipe bentuk baku adalah bentuk baku SOP dan bentuk
baku POS.
Contoh :
f (x,y,z) = y’ + xy + x’ yz
f (x,y,z) = x(y’ + z) (x’ +
y + z’ )
4. Penyederhanaan
Fungsi Boolean (Minimasi fungsi)
Fungsi boolean dapat disederhanakan dalam 3
cara :
1. Secara aljabar, dengan menggunakan rumus
atau
aksioma yang berlaku pada fungsi boolean
2. Menggunakan Peta Karnaugh
3. Menggunakan metode Quine Mc Cluskey (metode
Tabulasi)
4.1 Secara Aljabar
Contoh :
1. f (x, y) = x + x‟ y
= (x + x’ ) (x + y)
= 1 . (x + y)
= x + y
2. f (x, y) = x (x’ +
y)
= x x’ + x y
= 0 + x y
= x y
3. f (x, y, z) = x’ y’ z
+ x’ y z + x y’
= x’ z (y’ + y) + x y’
= x’ z . 1 + x y’
4. f (x, y, z) = x y + x’ z
+ y z
= x y + x’ z + y z ( x + x’ )
= x y + x’ z + x y z + x’ y
z
= x y ( 1 + z ) + x’ z ( 1 + y )
= x y + x’ z
5. Metode Peta
Karnaugh (K-Map)
Metode Karnaugh Map (K-Map)
adalah penjelasan tentang fungsi tabel kebenaran Boolean dalam bentuk gambar.
Salah satu tujuan dari K-Map untuk menyederhanakan fungsi Boolean sampai enam
variabel.
K-Map adalah diagram/peta yang terdiri dari
beberapa kotak yang bersisian, setiap bujursangkar merepresentasikan sebuah minterm.
Jumlah kotak tergantung pada jumlah variabel. Peta Karnaugh untuk dua variabel,
akan berisi 4 bujursangkar. Untuk 3 variabel terdiri dari 8 bujursangkar, 4
variabel terdiri dari 16 bujursangkar, untuk 5 variabel terdiri dari 32
bujursangkar dan untuk 6 variabel terdiri dari 64 bujursangkar. Di halaman ini
akan dijelaskan K-Map 2 variabel, 3 variabel, 4 variabel, 5 variabel dan 6
variabel.
5.1 Peta Karnaugh
untuk 2 Variabel
Gambar 3 K-Map 2
variabel
Pada K-Map 2 variabel dimisalkan dua peubah di
dalam fungsi Boolean adalah x dan y. Baris
pada K-Map untuk peubah x dan kolom untuk peubah y. Setiap
kotak merepresentasikan minterm dari kombinasi baris dan kolom
yang bersesuaian. Dua kotak yang bersisian berbeda hanya satu literal.
5.2 Peta Karnaugh
untuk 3 Variabel
Gambar 4 K-Map 3
Variabel
Pada K-Map 3 variabel (misalkan x, y dan z),
jumlah kotak di dalam K-Map meningkat menjadi 23 = 8. Baris pada K-Map untuk
peubah x dan kolom untuk peubah yz. Antara
satu kolom dengan kolom yang lain hanya berbeda 1 literal. Setiap kotak
merepresentasikan minterm dari kombinasi baris dan kolom yang
bersesuaian.
5.3 Peta Karnaugh
untuk 4 Variabel
Gambar 5 K-Map 4
Variabel
Misalkan empat peubah di dalam fungsi Boolean
adalah w, x, y dan z. Jumlah kotak didalam K-Map menjadi 24 = 16. Baris pada
K-Map untuk peubah wx dan kolom untuk peubah yz. Antara
satu kolom dengan kolom berikutnya hanya berbeda satu literal. Setiap kotak merepresentasikan minterm dari
kombinasi baris dan kolom yang bersesuaian.
5.4 Peta Karnaugh
untuk 5 Variabel
Gambar 6 K-Map 5
Variabel
Pendefinisian K-Map 5 variabel yaitu hanya
terjadi satu buah perubahan ke baris/ke kolom sebelum dan sesudahnya sama seperti
pada K-Map 4 variabel. Namun harus diperhatikan terdapat garis pembatas antara
010 dan 110. Penentu kelompok dapat dilakukan dengan memperlakukan sistem
cermin terhadap garis pembatas tersebut. Terdapat 32 bentuk minterm didalamnya.
5.5 Peta Karnaugh
untuk 6 Variabel
Gambar 7 K-Map 6
Variabel
Pada K-Map 6 variabel terdapat 36 bentuk
minterm di masing-masing bujur sangkar. Pendefinisiannya sama seperti bentuk
K-Map sebelumnya yaitu hanya terdapat satu kali perubahan. Penentu kelompok
didapatkan dengan melakukan sistem cermin terhadap garis pembatas yang terdapat
diantara 010 dan 110.
Cukup sekian Rangkuman Materi AljabarBoolean semoga bermanfaat brot untuk belajar :V salam Logika :F :V #fianpanic
Cukup sekian Rangkuman Materi AljabarBoolean semoga bermanfaat brot untuk belajar :V salam Logika :F :V #fianpanic
Post a Comment for "Rangkuman Materi Aljabar Boolean"
Terima kasih Brot.. telah membaca artikel di atas, kalau boleh dibantu tolong berikan komentar yang relevan sesuai dengan topik pembahasan artikel di atas.
Terima kasih atas kunjunganya brot,,, #fianpanic #etdah :V